Abdelhak ABOUQATEB : « Introduction aux groupoïdes de Lie »

Les groupoïdes de Lie et les algébroïdes de Lie offrent une approche unifiée à de nombreuses constructions en géométrie différentielle et donnent une description plus générale de certaines propriétés des symétries que celles décrites par les seuls groupes de Lie. Le but de ce cours est de présenter les groupoïdes de Lie à travers de nombreux exemples et en discutant propriétés fondamentales. Nous faisons le lien avec les groupes de Lie de dimension infinie à travers l’espace des bissections et nous décrivons l’algébroïde de Lie associée à un groupoïde de Lie

Wolfgang Bertram : « Groupoïdes et calcul différentiel » 

Dans ce mini-cours, nous allons présenter une nouvelle approche du calcul différentiel, via les groupoïdes de Lie, approche à la fois élémentaire et très générale. En un certain sens, il peut être considéré comme préparant l’approche de Charles Ehresmann à la géométrie différentielle, qui a largement utilisé les groupoïdes et les groupoïdes dits supérieurs. J’ai l’intention de commencer le mini-cours à un niveau très basique, puis, en fonction du temps et des champs d’intérêt des participants, dans une seconde partie, je vais aborder des sujets plus avancés, tels que les relations de l’approche « groupoïdes » avec les méthodes de la théorie de Lie, de la géométrie algébrique (foncteurs de Weil) ou de la géométrie différentielle (proche du programme original d’Ehresmann). Mon approche est basée sur mes articles arXiv https://arxiv.org/abs/1503.04623, https://arxiv.org/abs/1510.03234 (voir aussi « Lie Calculus », Publications du Centre Banach 113 (2017), 59-85. https://arxiv.org/abs/1702.08282); un livre sur ce sujet, avec comme titre provisoire « Calcul conceptuel », est en préparation.

Mohamed Boucetta : « Algébroïdes de Lie riemanniennes »

Dans ce cours, nous allons introduire la connexion de Levi-Civita, les géodésiques, les tenseurs d’O’Neill, les champs de Jacobi, la première formule de variations – dans une version ou un aspect lié aux algébroïdes. Ensuite, je vais parler des métriques de Sasaki sur l’espace total d’un algébroïde de Lie transitif.

Claire Debord : « Théorie de l’indice et groupoïdes de Lie » 

Dans les années 80, Alain Connes a montré que les groupoïdes de Lie ont un rôle important à jouer dans la théorie de l’indice, notamment pour sa généralisation à des situations géométriques « singulières ». Le but de ce cours sera l’étude géométrique et la construction des groupes de Lie impliqués dans construction. Nous nous concentrerons principalement sur les aspects suivants :

  1. Groupoïdes associés aux espaces singuliers. Lorsque l’algèbre des fonctions continues n’est pas pertinente pour étudier une situation géométrique, comme dans le cas des feuilletages puisque l’espace des feuilles peut être fortement non-Hausdorff, on peut vouloir désingulariser l’espace étudié grâce à un groupoïde. Ces questions sont liées à la théorie de Lie des groupoïdes de Lie, en particulier à la question de l’intégration des algébroïdes de Lie.
  2. Déformation au cône normal et éclatement. Nous présenterons quelques constructions géométriques générales et utiles des groupoïdes qui se produisent dans la théorie de l’indice.
  3. algèbres et calcul pseudodifférentiels sur les groupoïdes. Nous terminerons ce cours par une étude de l’utilisation des groupoïdes de Lie en théorie de l’indice

Camille Laurent-Gengoux : « Structures de Poisson et groupoïdes de Lie »

Dans ce cours, nous allons étudier les groupoïdes de Poisson. On verra en particulier que pour passer à l’équivalence de Morita -qui est la bonne notion d’équivalence sur les groupoïdes de Lie – on devra élargir la notion de groupoïde de Poisson, à celle de quasi-Poisson. Ceci sera l’occasion d’étudier les structures multiplicatives en général. Des applications à la résolution des singularités seront proposées.

Victor Nistor : « Algébroïdes de Lie et analyse » 

Nous allons expliquer l’origine de certaines connexions entre les algébroïdes de Lie et l’analyse. Après, je vais introduire ou rappeler les notions de géométrie riemannienne nécessaire pour les applications des algébroïdes de Lie en analyse : connexion de Levi-Civita, opérateurs de Dirac, géométrie bornée. Finalement, je vais expliquer quelques applications des algébroïdes de Lie dans l’analyse : espaces de Sobolev, continuité et régularité.

Mathieu STIENON : « Poincaré-Birkhoff-Witt et classes de Atiyah ».

La notion de pair d’algébroïde de Lie permet une unification remarquable de diverses branches des mathématiques, comme les feuilletages, les paires de Lie, etc. Nous allons étudier en particulier un outil peu connu mais très utile qui généralise Poincaré-Birkhoff-Witt pour des algébroïdes de Lie et expliquer l’utilité de cet outil dans une approche d’unification de diverses géométries.

Aissa Wade : « Groupoïde de contact » 

L’objectif de ce cours est d’introduire la géométrie de Jacobi et les groupoïdes de contact. Nous présenterons la géométrie des structures de Jacobi. Les structures de Jacobi, introduites par Lichnerowicz en 1978, sont des objets géométriques généralisant à la fois les structures de Poisson et les structures de contact : ce sont aux structures de contacts un équivalent non-inversible tout comme les structures de Poisson sont la version non-inversible des objets symplectiques. Ensuite nous discuterons de l’intégration des structures Jacobi via les groupoïdes de contact.